Per tutti gli appassionati di scienze matematiche, disciplina di area scientifica.
LE MACCHIE DEL LEOPARDO
Può esserci un collegamento tra la pigmentazione del mantello dei leopardi ed alcune equazioni matematiche? Parrebbe una vera e propria assurdità.
Non è dello stesso parere J.D. Murray, uno studioso particolarmente attento all’applicazione dei modelli matematici alla biologia, il quale ha mostrato che è possibile spiegare il meccanismo che determina la colorazione della pelle dei mammiferi tramite delle equazioni matematiche, dette “equazioni di reazione-diffusione”.
Ecco, in termini semplificati, qual’è la spiegazione di Murray. La produzione di melanina, che determina il colore dei peli, dipende, in ultima analisi, dalla presenza o meno di elementi chimici, detti “attivatori” e “inibitori”. E’ possibile spiegare la generazione della struttura definita dagli elementi chimici tramite due fenomeni: i componenti chimici interagiscono tra loro (effetto di reazione), i componenti chimici tendono ad invadere le regioni circostanti (effetto di diffusione). La semplice combinazione di questi due effetti permette di scrivere equazioni dalla struttura semplice. Al variare di certi parametri, che definiscono la rapidità con cui diffusione e reazione si manifestano, si ottengono strutture diverse la cui somiglianza con la colorazione di pelli di mammiferi è davvero notevole: si riconoscono alla perfezione le macchie dei leopardi e le strisce delle zebre!
In definitiva, sotto sotto, i leopardi un po’ di matematica la conoscono…
LABIRINTI
I matematici si sono occupati dei labirinti classici senza incroci.
Quanti labirinti essenzialmente diversi esistono? Detto in termini matematicamente rigorosi, è possibile classificare tutti i labirinti?
Numerando in modo progressivo dall’esterno verso l’interno del labirinto le circonvoluzioni che lo compongono si può associare ad ogni labirinto la sequenza numerica secondo la quale le circonvoluzioni vengono percorse; chiamando “livello del labirinto” il numero massimo di circonvoluzioni che lo compongono (con la convenzione che il cerchio esterno è indicato dal numero zero) Phillips ha classificato i labirinti sino al livello 22. Il loro numero risulta essere di 73.424.650. Anche nel caso dei labirinti con incroci i matematici hanno cercato delle regole che permettessero di trovare la via da percorrere.
Alcune di queste regole sono state descritte dai matematici francesi Tarry e Tremeau alla fine del XIX secolo.
NODI
Da un punto di vista matematico, un nodo è una curva chiusa dello spazio che non interseca se stessa: un modello concreto è dato esattamente da quello che siamo abituati a chiamare “nodo” con una importante differenza: i due capi della corda utilizzata per effettuare il nodo sono “saldati” tra loro. A questo punto non è detto che sia possibile sciogliere il nodo (senza ovviamente recidere la corda): per rendersi conto di ciò basta semplicemente fare una prova con il nodo di una stringa da scarpe. Si hanno allora varie possibilità di allacciamento della corda, e lo scopo ultimo della teoria dei nodi è quello di classificare tali oggetti, cercando di capire quando, dati due nodi, sia possibile deformare l’uno nell’altro semplicemente “manipolando la corda”.
La teoria dei nodi è un campo di ricerca antico, difficile e ricco di sorprendenti sviluppi. Nasce infatti nella seconda metà dell’ottocento come modello matematico di teorie fisiche (secondo Lord Kelvin le proprietà chimiche erano legate alle proprietà di intrecciamento degli “atomi”) e da allora resta al centro degli interessi di ricerca dei matematici dell’area algebro-geometrica (prova ne sia il fatto che importanti recenti sviluppi sono dovuti a due vincitori della Fields medal, il “Nobel” dei matematici: V. Jones e M. Kontsevich).
Nonostante i fondamentali progressi fatti, la teoria è tuttora ricca di problemi insoluti, e mantiene la sua importanza sia perché i risultati ottenuti sono stati spesso la base per generalizzazioni a teorie ancora più complesse (ad esempio quella delle 3 varietà), sia per le connessioni con scienze applicate: citiamo come esempio le interazioni con la biologia molecolare.
In alcune circostanze, infatti, la “doppia elica” schematizzante una molecola di DNA può opportunamente interpretarsi come un nodo, e lo studio di particolari reazioni chimiche può essere ricondotto a quello di certe operazioni matematiche su una rappresentazione grafica del nodo stesso.
GIOCARE IN BORSA CON LA MATEMATICA
Chiunque si sia avvicinato al mondo affascinante e misterioso della finanza avrà incontrato la parola “opzione”. Ma cos’è un’opzione? Ce ne sono di vari tipi. Ad esempio l’opzione “call europea” dà il diritto (ma non il dovere!) di acquistare ad una data prefissata e ad un prezzo prefissato tot azioni di una certa società. Certo, avere questo diritto ci dà un bel vantaggio!
E come tutti i vantaggi costa qualcosa. Ad esempio: un’azione Fiat vale oggi circa 30 Euro; mi piacerebbe garantirmi il diritto di poter acquistare un’azione Fiat il 31 dicembre 2001 al prezzo di 33 Euro (infatti credo che la quotazione di tali azioni aumenterà molto, ma ora non ho i soldi per comprarne quante vorrei). Magari però il denaro che ho ora in tasca mi può bastare per comprare questo diritto: qual è il prezzo giusto? Possedere un’opzione può rivelarsi, al 31 dicembre 2001, veramente prezioso, se le Fiat saranno salite molto, o del tutto inutile, se le Fiat saranno calate e sarà possibile acquistarle sul mercato a meno di 33 Euro. Allora mi domando ancora: qual è la cifra certa da pagare oggi, 6 Aprile 2000, per comprare quest’ opzione, il cui valore al 31 dicembre 2001 è oggi incerto?
Questo problema, detto di “option pricing”, così come tanti altri fenomeni interessanti in cui non possiamo ignorare una fonte strutturale di incertezza, può essere studiato con i metodi del Calcolo delle Probabilità. È interessante sottolineare che Black e Scholes hanno avuto il premio Nobel in economia per aver proposto un modello matematico probabilistico estremamente efficiente per l’ “option pricing”.
BOLLE DI SAPONE
“Fate una bolla di sapone e osservatela: potreste passare tutta la vita a studiarla” (Lord Kelvin).
Potrebbe sembrare una affermazione esagerata, cosa c’è di più semplice di una bolla di sapone?Lo studio delle bolle e delle lamine di sapone è solo un esempio del problema molto complesso delle “superfici minime”, uno dei temi di ricerca del settore della matematica noto come “Calcolo delle variazioni”.
Per illustrare i problemi che vengono affrontati in questo settore consideriamo il cosiddetto problema di Didone o isoperimetrico: nell’Eneide Virgilio racconta che la regina Didone arrivata sulle coste africane chiede a Labra, re della regione, un pezzo di terra dove fondare una città. Il re per schernirla gli propose tanta terra “…quanta cerchiar di un bue potesse un tergo”; un pezzo di terra grande solo quanto la pelle di un bue. Ma la furba Didone tagliando la pelle di bue in strisce piccolissime cucite insieme e, partendo da un punto sulla costa si mise a recintare con le strisce la terra su cui fondare Cartagine.
Il problema che Didone doveva risolvere era quello di circondare con la lunghezza delle strisce la maggior estensione di terra possibile. Risolse brillantemente il problema disegnando un semi-cerchio.
Il semplice problema isoperimetrico “tra tutte le figure piane che hanno la stesso perimetro qual è quella che ha la maggior area all’interno”, che, se non ha altri vincoli, ha come risposta il cerchio, è stato trattato per la prima volta in termini matematici da Pappo nel libro V dei suoi volumi di matematica e fisica, intorno al 390 A.D. Tuttavia per la formulazione rigorosa dei problemi legati alla ricerca di massimi e minimi, cioè di “Calcolo delle Variazioni” , è necessario aspettare il XIX secolo con i risultati di Eulero e Lagrange. Nel 1873 Joseph Plateau pubblicò i risultati dei suoi lavori sperimentali sulle lamine e agglomerati di bolle di sapone; ma è soltanto un secolo più tardi, nel 1973, che la matematica Jean Taylor fu in grado di dimostrare che le leggi di Plateau erano vere.
PROBLEMA DEI 4 COLORI
Il celebre problema dei quattro colori nasce storicamente (Francis e Frederick Guthrie, 1852; A. Cayley, 1878) come problema di colorazione di carte geografiche: si vuole che due stati confinanti non abbiano lo stesso colore e ci si domanda se quattro colori siano comunque sufficienti per colorare gli stati di una qualunque possibile carta geografica.
Da un punto di vista matematico, conviene anzitutto precisare il concetto di carta geografica: gli stati sono regioni del piano connesse (cioè non formate da due o più parti), e due stati si dicono confinanti se hanno una linea di confine in comune (non soltanto un numero finito di punti).
Il problema rimane sostanzialmente inalterato se le regioni si trovano, anziché su di un piano, sulla superficie di una sfera (la Terra): in quest’ultimo caso, basta scegliere un punto P interno ad una regione e proiettare la superficie sul piano tangente nel punto diametralmente opposto a P; ci si riporta così al caso di regioni piane.
La risposta affermativa al problema – congetturata da P.J. Heawood (1861-1955), che aveva dimostrato che cinque colori sono comunque sufficienti – è stata data soltanto nel 1976 da K. Appel e W. Haken, e costituisce il teorema dei quattro colori. A questa dimostrazione, molto complicata e che per di più fa un uso massiccio del calcolatore, si è giunti attraverso una serie di precedenti “dimostrazioni” presunte; ci limitiamo a citare quelle di B. Kempe del 1879 e di G. Tait del 1880, rispettivamente confutate da Heawood nel 1890 e da Petersen nel 1891. Gli sforzi tesi alla risoluzione del problema hanno dato comunque un importante contributo allo sviluppo della teoria dei grafi ed allo studio della topologia.
FONTE: dipartimento di matematica dell’Università Sapienza di Roma
