In questo articolo studiamo insieme un argomento proposto per la prima volta nel test di Medicina di due anni fa: le tavole di verità (presenti in due domande di logica nel 2018 e in una domanda nel 2019).
Per costruire le tavole di verità servono le proposizioni e le operazioni (o funzioni) tra proposizioni.
Una proposizione è una frase per la quale si può stabilire il suo valore di verità, ovvero di cui si può dire se è vera o falsa in maniera oggettiva
Facciamo un esempio:
- Venere è un pianeta (Vera) V
- La capitale della Francia è Madrid (Falsa) F
- Oggi pioverà? (non è una proposizione)
Per le proposizioni valgono due principi:
- principio di non contrapposizione: una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa;
- principio del terzo escluso: una proposizione può essere vera o falsa, cioè non esiste una terza possibilità.
A partire dai valori Vero e Falso di ogni proposizione possiamo costruire le tavole di verità, che rappresentano le possibili combinazioni di verità tra gli elementi.
Ad esempio a partire da due proposizioni si possono avere 4 casi, cioè 22 = 4, come si osserva dalla tabella:
p | q |
V | V |
V | F |
F | V |
F | F |
Due proposizioni possono essere legate tra loro attraverso alcuni operatori. I principali sono:
- La congiunzione “e” unisce due proposizioni e si indica con il simbolo ∧
Esempio: Paolo gioca a tennis e a calcio, che indichiamo nella forma p ∨ q e si legge “p e q” (p AND q)
- La disgiunzione “o” si indica con il simbolo ∨
Esempio: Paolo gioca a tennis o a calcio, che indichiamo nel modo p ∨ q e si legge “p o q” (p OR q)
- Il connettivo “se…allora” che si indica con p → q (p implica q)
Esempio: Se domani il tempo è bello, allora Angelo va al mare.
In questo caso si hanno 3 possibili situazioni:
- se p è vera (il tempo è bello) e q è vera (Angelo va al mare) allora l’implicazione è vera;
- se, invece, p è vera (il tempo è bello) e q è falsa (Angelo non va al mare), chiaramente Angelo non ha detto la verità, ossia p implica q è falsa;
- se p è falsa (il tempo non è bello), allora Angelo non ha “vincoli” sulla decisione, ciò significa che se p è falsa,dovremo in ogni caso ritenere vera l’affermazione di Angelo , quindi p → q è vero per qualsiasi valore di verità di q.
- La negazione che indichiamo con ~ p oppure con ¬ p, o anche NOT p ha la seguente tavola di verità:
p | NOT p |
F | V |
V | F |
Aggiungendo alla tavola di verità di base i connettivi “e” ed “o” e l’implicazione otteniamo una tavola di verità più completa che ci permette di poter risolvere molti tipologie di quesiti.
p | q | p ∧ q | p ∨ q | p → q |
V | V | V | V | V |
V | F | F | V | F |
F | V | F | V | V |
F | F | F | F | V |
Si nota subito che la funzione “e” è Vera quando sono vere entrambe, ad esempio: “Angelo va a cinema e mangia il gelato” è vero solo se si verificano entrambe le situazioni; mentre la funzione “o” è vera quando almeno una delle due sono vere. Esempio: “Claudia va a cinema o mangia il gelato”; ed infine l’implicazione è sempre vera tranne quando è vera la premessa ma falsa la conclusione
Logica Test Medicina: risolviamo due quesiti
Quesito n. 1: Se l’enunciato “Se continui a gridare, perderai la voce” vale [A → B] e l’enunciato “Non risolverai il problema” vale [~ C], allora l’enunciato “Se continui a gridare, non solo non risolverai il problema, ma perderai la voce” vale:
- A) [A → [~ [~ C] Λ B]]
- B) [A → [[~ C] Λ (~B)]]
- C) [A → [[~ C] Λ B]]
- D) [A → [[~ C] → B]]
- E) [A → [[~ C] Λ [~B]]
La risposta è la C e si ricava considerando che “A” implica l’intersezione tra NON C e B. Quindi [A → [[~ C] Λ B]]
Quesito n. 2: Quando è falsa la funzione ¬ (p ∧ (p ∨ q))?
- A) Se p è vero per qualunque valore di q
- B) Se p è falso per qualunque valore di q
- C) Sempre se uno dei due tra p e q è vero
- D) Sempre per p e q entrambi falsi
- E) Mai se q è vero
La risposta è la A). In modo pratico per essere falsa la funzione si deve avere che, escludendo la negazione, il testo tra parentesi deve essere vero. Per essere vera la “e” (∧) entrambi i termini devono essere veri. Ciò avviene solo se “p” è vero. La “q” invece essendo presente in una fuzione “o” (∨) può essere anche falsa se è vera la “p”
Sviluppiamo la tavola di verità per trovare analiticamente il risultato:
p |
q |
p ∨ q |
p ∧ (p ∨ q) |
¬ (p ∧ (p ∨ q)) |
V |
V |
V |
V |
F |
V |
F |
V |
V |
F |
F |
V |
V |
F |
V |
F |
F |
F |
F |
V |
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