La logica nel test di Medicina: le tavole di verità

In questo articolo studiamo insieme un argomento proposto per la prima volta nel test di Medicina di due anni fa: le tavole di verità (presenti in due domande di logica nel 2018 e in una domanda nel 2019).

Per costruire le tavole di verità servono le proposizioni e le operazioni (o funzioni) tra proposizioni.

Una proposizione è una frase per la quale si può stabilire il suo valore di verità, ovvero di cui si può dire se è vera o falsa in  maniera oggettiva

Facciamo un esempio:

  • Venere è un pianeta (Vera) V
  • La capitale della Francia è Madrid (Falsa)  F
  • Oggi pioverà? (non è una proposizione)

Per le proposizioni valgono due principi:

  • principio di non contrapposizione: una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa;
  • principio del terzo escluso: una proposizione può essere vera o falsa, cioè non esiste una terza possibilità.

A partire dai valori Vero e Falso di ogni proposizione possiamo costruire le tavole di verità, che rappresentano le possibili combinazioni di verità tra gli elementi.

Ad esempio a partire da due proposizioni si possono avere 4 casi,  cioè 22 = 4, come si osserva dalla tabella:

p q
V V
V F
F V
F F

Due proposizioni possono essere legate tra loro attraverso alcuni operatori. I principali sono:

  • La congiunzione “e”  unisce due proposizioni e si indica con il simbolo

Esempio: Paolo gioca a tennis e a calcio, che indichiamo nella forma  p ∨ q  e  si legge “p e q”  (p AND q)

  • La disgiunzione “o” si indica con il simbolo   

Esempio: Paolo gioca a tennis o a calcio, che indichiamo nel modo p ∨ q e si legge “p o q”  (p OR q)

  • Il connettivo “se…allora” che si indica con p → q (p implica q)

Esempio: Se domani il tempo è bello, allora Angelo va al mare.

In questo caso si hanno 3 possibili situazioni:

  1. se p è vera (il tempo è bello) e q è vera (Angelo va al mare) allora l’implicazione è vera;
  2. se, invece, p è vera (il tempo è bello) e q è falsa (Angelo non va al mare), chiaramente Angelo non ha detto la verità, ossia p implica q è falsa;
  3. se p è falsa (il tempo non è bello), allora Angelo non ha “vincoli” sulla decisione, ciò significa che se p è falsa,dovremo in ogni caso ritenere vera l’affermazione di Angelo , quindi p → q è vero per qualsiasi  valore di verità di q.
  • La negazione che indichiamo con ~ p oppure con ¬ p, o anche NOT p ha la seguente tavola di verità:
p NOT p
F V
V F

Aggiungendo alla tavola di verità di base i connettivi  “e” ed “o” e l’implicazione otteniamo una tavola di verità più completa che ci permette di poter risolvere molti tipologie di quesiti.

p q p ∧ q p ∨ q p → q
V V V V V
V F F V F
F V F V V
F F F F V

Si nota subito che la funzione “e” è Vera quando sono vere entrambe, ad esempio: “Angelo va a cinema e mangia il gelato” è vero solo se si verificano entrambe le situazioni; mentre la funzione “o” è vera quando almeno una delle due sono vere. Esempio: “Claudia va a cinema o mangia il gelato”; ed infine l’implicazione è sempre vera tranne quando è vera la premessa ma falsa la conclusione

Logica Test Medicina: risolviamo due quesiti

Quesito n. 1: Se l’enunciato “Se continui a gridare, perderai la voce” vale [A → B] e l’enunciato “Non risolverai il problema” vale [~ C], allora l’enunciato “Se continui a gridare, non solo non risolverai il problema, ma perderai la voce” vale:

  • A) [A → [~ [~ C] Λ B]]
  • B) [A → [[~ C] Λ (~B)]]
  • C) [A → [[~ C] Λ B]]
  • D) [A → [[~ C] → B]]
  • E) [A → [[~ C] Λ [~B]]

La risposta è la C e si ricava considerando che “A” implica l’intersezione tra NON C e B. Quindi [A → [[~ C] Λ B]]

Quesito n. 2: Quando è falsa la funzione ¬ (p ∧ (p ∨ q))?

  • A) Se p è vero per qualunque valore di q
  • B) Se p è falso per qualunque valore di q
  • C) Sempre se uno dei due tra p e q è vero
  • D) Sempre per p e q entrambi falsi
  • E) Mai se q è vero

La risposta è la A). In modo pratico per essere falsa la funzione si deve avere che, escludendo la negazione, il testo tra parentesi deve essere vero. Per essere vera la “e” (∧) entrambi i termini devono essere veri. Ciò avviene solo se “p” è  vero. La “q” invece essendo presente in una fuzione “o”  (∨) può essere anche falsa se è vera la “p”

Sviluppiamo la tavola di verità per trovare analiticamente il risultato:

p

q

∨ q 

∧ (p ∨ q)

¬ (p ∧ (p ∨ q))

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

V

V

F

V

F

F

F

F

V

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