Test di Ammissione all'Università

Innanzitutto piacere, sono Christian. Sto tentanto la via dell'infermieristica studiando completamente solo. L'unica cosa, mi sono da un po' di giorni arenato su quest'argomento. Proprio non riesco a trovare il modo di comprendere la logica di questa spiegazione, o meglio il modo di scomporre i denominatori. Mi dareste una mano?

Ti dico la regola generale per scomporre un polinomio, dopo la applichiamo ai tuoi esempi

1) trovi tutti i divisori del termine noto

2) guarda quale tra i divisori del termine noto sostituito nel polinomio originario da come somma 0

3) dividi il polinomio per  x - (divisore che sostituito nel polinomio fa si che la somma del polinomio sia uguale a 0)

4)se il tuo divisore ( x - termine noto ) moltiplicato per il quozienta da esattamente(quindi il resto = 0 ) il dividendo, allora la scomposizione del polinomio è data dal prodotto tra il divisore e il quoziente

Ora passiamo dalla teoria alla pratica, esaminiamo x^2 - 2x + 1

Guarda i punti che ti ho detto prima, in questo caso:

1) i divisori di questo polinomio sono +/- termine noto, quindi sono + 1 e - 1

2) Qui dobbiamo fare le sostituzioni, partiamo prima con - 1

Sostituiamo nel polinomio dove vediamo la lettera x con la cifra -1, quindi: (-1) ^ 2 -2(-1) + 1 che è uguale a 1+1+1 = 3

Dato che la somma non è uguale a 0 dobbiamo continuare a cercare quale tra i divisori sostituito alla x da come somma 0. Qualora l' avessimo gia trovato sarebbe unitile continuare a cercare, basta andare immediatamente al punto 3.

Proviamo quindi il divisore +1, sostituendo abbiamo (+1)^2 -2(+1) +1 = 1 -2 + 1 = 0

Perfetto, passiamo al punto 3

3)Dobbiamo dividere il polinomio con x - ( divisore che da 0) quindi

dividiamo x^2 - 2x + 1 con x - ( +1 ) quindi con x -1

DIVIDENDO    DIVISORE

       |                   |

x^2 -2x + 1 |  x -1

-x^2 + x         x- 1     <--- QUOZIENTE

- - - - - - - - -

- x + 1

+x - 1

- - - - - - - - -

0 <--- RESTO

Ti dico i passaggi che ho fatto

- Ho diviso il primo termine del dividendo con il primo divisore e ho messo il risultato nel quoziente, x^2/x = x

- Ho moltiplicato il risultato precedente per il dividore CAMBIANDO DI SEGNO il risultato, quindi:

x moltiplicato con x = x^2 cambio il segno e viene -x^2

x moltiplicato con -1 = -x cambio il segno e viene x

li ho sommati e li ho scritti sotto la riga del dividendo

- A questo punto ho sommato la prima riga del dividendo con la seconda e il risultato è - x + 1

- Ho diviso il primo termine di - x + 1 ( quindi - x ...) con il primo termine del divisore ( x ) e risultato è: -x/x = -1 che infatti compare proprio come secondo termine del quoziente

- Ho moltiplicato il risultato precedente ( -1 ) per il divisore CAMBIANDO DI SEGNO, ho ottenuto quindi + x - 1

- ho sommato -x + 1 con +x -1

Poichè il resto è uguale a zero il polinomio è sicuramente scomponibile e la sua scomposizione è data dal prodotto tra il divisore e il quoziente, perciò abbiamo:

x^2 - 2x + 1 = (x-1)(x-1)

Ora ti faccio la scomposizione di x^2 - 1 evitantodi tutte le righe di spiegazioni, se hai dubbi poi mi chiederai

x^2 - 1          |  x + 1

-x^2 -x             x - 1

- -  - - - - -

-x - 1

+x + 1

- -  - -  - -

0

Quindi dato che resto è 0, abbiamo x^2 - 1 = (x+1)(x-1)

Noterai da solo che come divisore del polinomio potevamo prendere sia x + 1 che x - 1 perchè sia -1 che + 1 sostituito nel polinomio davano somma 0. Il risultato era esattamente lo stesso perchè abbiamo che (x+1)(x-1) = (x-1)(x+1)

Ora ti divido il polinomio x + 1

x + 1      |  x + 1

-x - 1               1

- - - - -

0

x + 1 = (x + 1 ) (1 ) quindi x + 1 = x +1 ecco quindi perchè non viene scomposito. Come regola comunque nessun polinomio di primo grado si può scomporre.

Ti lascio da fare questo esercizio se vorrai, scomporre x^3 - 8 ( ti dico gia che i divisori del termine noto sono +1,+2,+4,+8,-1,-2,-4,-

Ho voluto insegnarti questo metodo perchè è applicabile per TUTTI i polinomi, esistono regole più veloci che però ho preferito non dirti perchè sono basati sulla memoria, mentre in questo modo tu sai scomporre qualsiasi polinomio applicando lo STESSO metodo.

Con il tempo comunque ti accorgerai che almeno fino ai polinomi di terzo grado riuscirai a risolverli a "occhio", mentre quelli di grado maggiore sarà più difficile ma non ti interesserà dato che non vengono chiesti al test di ammissione.

Aspetto una tua risposta per dirmi se hai capito, se hai dei dubbi e per dirmi, eventualmente, in quali righe di quelle due pagine hai problemi.

Innanzitutto grazie, mi hai chiarito molti concetti riuscendo a scomporre i polinomi. Ho provato anche con l'esercizio che mi hai dato, e come diceva il mio prof di matematica "mi si sono accese delle lampadine". Però non tutte, almeno per quanto riguarda il questo passaggio:

"Sostituiamo nel polinomio dove vediamo la lettera x con la cifra -1, quindi: (-1) ^ 2 -2(-1) + 1 che è uguale a 1+1+1 = 3"

Allora -1^2 = (-1)(-1) = +1

ma -2(-1) non dovrebbe dare +2?

 

Poi ho un'altro dubbio sull'equazione II (2x - 2/x² - 1): non sono riuscito a scomporla con il tuo sistema, ho provato con la classica divisione, ma tentando mi escono risultati sdreus

Ho provato trovando il MCD di 2x-2 e mi è uscito sempre 2 e poi 1. Con quest'ultimo risultato ho avuto il quoziente di 2x² ed il resto -2

 Allora iniziamo da 2x - 2/x² - 1

Per il numeratore, essendo di primo grado, si può anche risparmiare il metodo che ti ho insegnato perchè basta raccogliere a fattor comune i coefficienti. Ecco perchè ha fatto 2(x -1)

Se ci fosse stato

 8x + 4 sarebbe 4(2x +1)

 12x-2 = 6(x-1)

-15x+5 = 5(-3x +1)

  - 2x - 8 x = - 2(x + 4 ) che è equivalente a dire +2(-x - 4)

Spero che ora sia chiaro come fare per quelli di primo grado.

Comunque te la faccio lo stesso con il mio metodo,

2x - 2       | x -1  --> ho messo x - 1 perchè 1 sostituito nel polimio da zero, quindi il dividendo sarà x - ( 1 )
-2x  +2      2

- - - -
0
Abbiamo quindi che 2x-2 = 2(x-1)

Il denominatore x^2 - 1 si scompone così:

x^2 - 1  | x +1
-x^2 -x   x - 1
- - - -
-x - 1
+ x +1
- - - -
 0
Ti ridico i passaggi che ho fatto:

- Ho diviso x^2 con x e ho ottenuto x

- ho moltiplicato x con x + 1 ottenendo -x^2 -x POICHè ho cambiato il segno!

- ho sommato x^2 - 1 con -x^2 -x ottenendo -x - 1 

- ho diviso il -x ( quello appartente a -x-1) con +x(appartenente a x +1 )

- ho ottenuto - 1 come risultato

- ho moltiplicato -1 con x+1 ottenendo + x +1 ( CAMBIATO il segno)

- ho sommato - x -1 con x + 1 ottenendo 0

Dato che viene 0, sappiamo che x^2 - 1 = (x+1)(x-1)

quindi la nostra frazione 2x - 2/x² - 1 è uguale a  2(x-1)/(x+1)(x-1)

Semplifico l' (x-1) del numeratore con l' (x-1) del denominatore ottenendo come risultato finale della frazione 2/(x-1)

Fine.

Per quanto riguarda (-1) ^ 2 -2(-1) + 1, anche se sarebbe più corretto scriverlo come  [(-1) ^ 2] -2(-1) + 1, abbiamo che:

(-1)^2 = (-1)(-1) = +1

-2(-1) = 2

Sommiamo l' ultimo 1 del polinomio e abbiamo che 1 + 2 + 1 = 4. Comunque l' importante era che venisse 0 per non continuare a cercare divisori, poi se veniva 3 o 100 non cambiava nulla perchè bisognava comunque continuare a cercare divisori.

Dimmi se hai capito e prova a risolvere il polinomio che ti avevo dato.Se non lo capisci, sarò qui a darti una mano!

Arrigrazie, ho provato e (credo) di essermi chiarito più cose. Ho provato con l'esercizio che mi hai dato provando così:

x³ - 8 = (x - 2)³ = (x-2)(x-2)(x-2);

Per quanto riguarda gli esercizi, si parla di una specie di MCD tra i due polinomi (divisore e dividendo), che in questo caso sono (X-1), cosìcchè ho anche avuto l'impressione che per risolverle sarebbe sufficiente dividere il divisore per il numeratore e per il denominatore, e poi dividere tra essi gli elementi comuni. Ho provato quest'altra equazione a fantasia, spero sia giusta.

Mi sorgono spontanei altri due dubbi: il primo, riguarda l'espressione a fantasia, ossia il fatto che il numeratore possa annullare il denominatore. Il secondo, il più grande, riguarda la scomposizione dell'esempio dell'addizione algebrica, quella del primo denominatore (x³ + x² - 4x - 4)

Mi hai abbandonato speranza

Ma che fine hai fatto

Ciao, scusa ma ho avuto degli impegni universitari in questi giorni e non ho avuto proprio tempo di connettermi, dato che l' aiuto è gratis ho preferito prima pensare a me stesso.

Per quanto riguarda il polinomio che ti ho dato io, si scompone così:

x^3 - 8          |  x - 2  --> c'è x - 2 perchè se sostituisco in x^3 - 8 dove c'è x con 2 noto che il polinomio si azzera
-x^3 + 2x^2         x^2 + 2x + 4
- - - - - -
2x^2 - 8
-2x^2 + 4x
- - - - - -
4x - 8
-4x + 8
- - - - - -
0

Quindi hai che x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4). Se provi a scomporre x^2 + 2x +4, noterai che nessun divisore di 4 
quindi +1,+2,+4,-1,-2,-4 annulla il polinomio.

Per quanto riguarda la scomposizione di x^3 + x^2 -4x - 4

x^3 + x^2 - 4x - 4
- 1  è un divisore, ossia sostituito nelle x annulla il polinomio.

x^3 + x^2 - 4x -4  |  x + 1
-x^3 - x^2            x^2 - 4
- - - - - - - - -
-4x - 4
+4x + 4
- - - - - - - - -
0
Perciò x^3 + x^2 - 4x -4 = (x+ 1) ( x^2 - 4)
Proviamo a scomporre ulteriormente x^2 - 4

x^2 - 4        | x -2
-x^2 +2x         x + 2
- - - - -
2x - 4
-2x + 4
- - - - -
0
quindi x^3 + x^2 - 4x -4 = (x+1) ( x^2 - 4) = (x+1)(x-2)(x+2) che è proprio la scomposizione finale come è nel testo. Solo che il testo usa un altro metodo, secondo me molto più dispersivo. Una volta che riesci a capire a pieno questo metodo che sto cercando di farti capire, non ne sbaglierai neanche più una.

Se per espressione a fantasia intendi questa (2x -1)/(2x +1), noterai che sia il numeratore sia il denominatore sono di primo grado e sono diversi, quindi questo ti dovrebbe gia far pensare che è impossibile scomporli

Se provi a scomporre 2x - 1, quando vai a cercare i divisori del polinomio ( quindi tra + 1 e - 1 perchè il termine noto è 1) noterai che nessuno annulla il polinomio

TU l' hai scomposto in questo modo

2x + 1   |  x - 1

In questo modo stai dicendo che 1 annulla il polinomio quindi 2(1) + 1 = 0 ??? Questo non è vero perchè è uguale a 3.

Anche facendo finta che sia vero, quindi

2x + 1      |  x -1

-2x + 2         2

- - - - - -

3       A questo punto tu non puoi più continuare perchè non puoi dividere 3 con x -1 perchè il resto (3) deve essere di grado >= del termine massimo divisore (x-1). Quindi tutte le volte che dividi il resto devi sempre dividere il termine di grado massimo del resto per il termine di grado massimo del divisore e se ciò non è possibile ci sono 2 possibilità:

- o hai sbagliato a trovare il divisore del polinomio

- o hai sbagliato i conti 

Magari questa parte l' ho data per scontata, comunque prova a rivedere gli esercizi e vedi che si verifica.

Quindi, facciamolo anche con 2x -1

Nessun divisore annulla il polinomio, come hai fatto tu stai dicendo che +1 sostituito nelle x da 0 ma non è vero perchè 2(1) - 1 = 1

Faccio ancora finta che ciò che tu dici è vero,

2x - 1   |        x -1

-2x + 2          2

- - - - -

+ 1          Qui mi bloccherei perchè 1 che è il termine di grado massimo del resto non posso dividerlo per il termine di grado massimo del dividendo ossia x.

Dimmi se ora è tutto chiaro e non cazziarmi se per 2 giorni e mezzo non mi connetto

Niente scuse, hai assunto un impegno e lo devi portare a termine e subito!

Sto scherzando anzi scusami tu, ma purtroppo sai com'è, a volte questi studi mettono un bel po' di tensione ed è facile farsi travolgere dalle emozioni (e tu mi puoi capire), quindi anche sentirsi persi

Ho provato come dici tu e sono riuscito a risolvere gli altri polinomi. Guarda caso ho semplificato tanto da eliminare parecchi passaggi.

Per quanto riguarda il terzo divisore per comodità mia avevo già invertito gli esponenti (quindi mi sono evitato l'inversione dei segni). L'ultimo passo sarebbero gli ultimi tre passaggi, quelli a partire dal m.c.m. Quest'ultimo è un'altro che non ho tanto capito. Dovendo prendere tutti i fattori comuni e non comuni presi una volta e con il massimo esponente il m.c.m. dovrebbe essere "X", l'unico in tutti i polinomi e "+2" dato che in comune nei divisori scomposti ci sono solamente l'1 e il 2.

Innanzitutto complimenti perchè ho visto che sei riuscito a fare tutte le scomposizioni giuste! Ora con questo metodo che ti ho insegnato sarai in grado di scomporre qualsiasi polinomio, qualsiasi sia il grado.

Per quanto riguarda l' m.c.m. quello che tu dici è vero, però devi fare attenzione se stiamo considerando monomi o polinomi.

Ti farò prima degli esempi in modo che capirai:

Tra monomi:

 5x, 5, 10x^2, 10x    l' m.c.m è 10x^2 

 3x, 6x^2, 12x    l' m.c.m. è 12 x^2

 3, 5x^2, 10     l' m.c.m è 30x^2

 2x^2, 7x^4, x^4 l' m.c.m è 14 x^4

Tra polinomi:

(x + 1) (x +1 ) (x + 2 ) l' m.c.m. è (x + 1 )(x+2)

(x +3 ) ( x + 2)( x - 4) l' m.c.m. è (x + 3)(x + 2)(x -4)

4(x^2 -1)(x +1 ) sai chè è uguale a 4(x +1 )(x -2)(x+1) quindi m.c.m. è 4(x+1)(x-2)

(x^3 + 5)(x^2 -1)(x+1) sai che è uguale a (x^3 +5)(x+1)(x-1)(x+1) l' m.c.m sarà (x^3+5)(x+1)(x-1)

Quindi per i polinomi cerchi di scomporre prima i polinomi se è possibile ( quindi ad esempio x^2 -1 l' abbiamo scomposto mentre x^3 + 5 no perchè impossibile).

Una volta scomposti i polinomi tu prendi tutti i polinomi eliminando i doppioni.

Per quanto riguarda i monomi, la scelta del coefficiente è basata sul fatto di prendere il coefficiente più piccolo possibile che diviso per tutti i coefficienti da un numero intero ( ossia senza virgola ).

Per questo nel secondo esempio tra (3,6,12) abbiamo preso 12 poichè 12/3 = 4,  12/6 = 2 e  12/12 = 1. Nessuno dei 3 ha la virgola; ho specificato che deve essere il minore possibile, quindi prendere il 24 ad esempio non andava bene perchè, nonostante nessuno veniva con la virgola, c'era un coefficiente più piccolo ( 12 ) che li divideva.

Tornando alla seconda slide, una volta che tu ottieni l' m.c.m. tu avrai un solo denominatore con l' m.c.m. che hai trovato. Per quando riguarda il numeratore devi dividere l' m.c.m. per il denominatore corrispondente e moltiplicare il risultato per il numeratore corrispondente. Questa operazione la devi fare per tutti e 3 i numeratori. 

Quindi

sai che l' m.c.m. è (x-2)(x+2)(x+1) lo dividi per il numeratore della prima frazione ossia (x-2)(x+2)(x+1) il risultato ovviamente da 1 che lo moltiplichi per 2 e quindi viene 2.

Poi dividi l' m.c.m. con (x-2)(x+1) ottenendo (x+2) che andrai a moltiplicare per il numeratore della seconda frazione ossia (x-1).

La stessa cosa fai per il terzo e poi otterrai il risultato.

 

 

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